H) TEOREMA DE BAYES

 

Sea d un espacio muestral que está formado por los eventos A1, A2, A3,.....,An mutuamente excluyentes, luego,

            d = A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn

 

 

 

 

 


Luego si ocurre un evento B  definido en d, observamos que;

                          B = dÇB = (A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn)ÇB = (A1ÇB)È(A2ÇB)È(A3ÇB)È.....È(AnÇB)

Donde cada uno de los eventos AiÇB son eventos mutuamente excluyentes, por lo que

                        p(B) = p(A1ÇB) + p(A2ÇB) + p(A3ÇB) +......+ p(AnÇB)

y como la p(AiÇB) = p(Ai)p(B½Ai) ,  o sea que la probabilidad de que ocurra el evento Ai y el evento B es igual al teorema de la multiplicación para probabilidad condicional, luego;

                      p(B) = p(A1)p(B½A1) + p(A2)p(B½A2) + p(A3)p(B½A3) + p(An)p(B½An)

Si deseamos calcular la probabilidad de que ocurra un evento Ai dado que B ya ocurrió, entonces;

                     

La expresión anterior es el teorema de Bayes, que como se observa es una simple probabilidad condicional.

Ejemplos:

1.      Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso, a. Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que  el producto haya sido fabricado en la máquina B?, b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C?

Solución:

Para resolver este problema nos ayudaremos con un diagrama de árbol;

 

                                                           8%      D

                                   43%    A        

                                                           92%    ND

                                                          

                                   26%    B                     2% D

                                                           98%    ND

                                                                       

                                   31%    C                    1.6% D

                                                              

                                                                    98.4%   ND

 

a.       Definiremos los eventos;

D = evento de que el producto seleccionado sea defectuoso (evento que condiciona)

A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A

B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B

C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C

 

                          P(B½D) = p(BÇD)/p(D) = p(B)p(D½B)/p(A)p(D½A) + p(B)p(D½B) + p(C)p(D½C)

                          P(B½D) = (0.26*0.02)/(0.43*0.08 + 0.26*0.02 +   0.31*0.016)

                                         = 0.0052/0.04456

                                         =0.116697

 

b.      ND = evento de que el producto seleccionado no sea defectuoso (evento que condiciona)

A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A

B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B

C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C

 

                 P(C½ND)=p(CÇND)/p(ND)=p(C)p(ND½C)/p(A)p(ND½A) + p(B)p(ND½B) +  p(C)p(ND½C)

                                  = 0.31*0.984/(0.43*0.92 + 0.26*0.98 + 0.31*0.984)

                                  = 0.30504/0.95544

                                  =0.31927

2.      Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles de la ciudad; Palacio del Sol, Sicomoros o Fiesta Inn, en una proporción de 18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente, a. Si se selecciona a un visitante al azar ¿cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio?,b. Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que el no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Palacio del Sol?, c. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en e hotel Fiesta Inn?

3.      Solución: Haciendo uso de un diagrama de árbol;

                                                                       2.8%   Q

 

                        18.5%             PS

                                                                       97.2% NQ

                                                                       1.0%   Q

                                                                                 

                        32%               S                                                                                

                                                              99.0%   NQ

                                                                

                                                                              4.0% Q

                  49.5%             FI

                                                                   96.0%    NQ

                                                                                 

 

a.       NQ = evento de que un visitante no se queje del servicio

      PS = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Palacio del Sol

       S = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Sicómoro

      FI = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Fiesta Inn

 

                P(NQ) = p(PS)p(NQ½PS) + p(S)p(NQ½S) + p(FI)p(NQ½FI) =

                            = 0.185*0.972 + 0.32*0.99 + 0.495*0.96

                            = 0.17982 + 0.3168 + 0.4752

                            = 0.97182

b.      NQ = evento de que un visitante no se queje del servicio

      PS = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Palacio del Sol

       S = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Sicomoro

      FI = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Fiesta Inn

 

                       P(PS½NQ)=p(PSÇNQ)/p(NQ)

                                         =(0.185*0.972)/(0.185*0.972+0.32*0.99+0.495*0.96)= 

                                         = 0.17982/(0.17982 + 0.3168 + 0.4752)

                                         = 0.17982/0.97182

                                         = 0.1850342

c.       Q = evento de que un visitante se queje del servicio

FI = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Fiesta Inn

                      P(FI½Q) = p(FIÇQ)/p(Q)

                                      = 0.495*0.04/(0.185*0.028 + 0.32*0.01 + 0.495*0.04)

                                      =0.0198/( 0.00518 + 0.0032 + 0.0198)

                                      = 0.0198/0.02818

                                      = 0.7026