E) PROBABILIDAD CONDICIONAL

 

Sea d un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)>0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;

 

d

 
 

 

 

 


Donde:

 

p(A½E) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrió

p(AÇE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo

p(E) = probabilidad de que ocurra E

 

Luego;

 

 

 

 

Por tanto:

 

 

 

Donde:

 

½AÇE½= número de elementos comunes a los eventos A y E

½E½= número de elementos del evento E

Luego entonces podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió.

 

Ejemplos:

1. Se lanza al aire dos dados normales, si la suma de los números que aparecen es de por lo menos siete, a. determine la probabilidad de que en el segundo dado aparezca el número cuatro, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, c. Determine la probabilidad de que en el primer dado aparezca el numero dos.

 

Solución:

El espacio muestral es el mismo que cuando se lanza un dado dos veces y se muestra a continuación;

 

 

       (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

       (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

d =  (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

       (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

       (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

       (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

 

a.       Para calcular una probabilidad condicional es necesario definir los eventos A y E, siendo estos,

 

A = evento de que en el segundo dado aparezca el número cuatro,

E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete, (que es que es el evento que está condicionando)

 

       E = {21 elementos, los que suman siete o más}

 

       (6,1)

       (5,2) (6,2)

E =  (4,3) (5,3) (6,3)

       (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

       (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

       (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

 

           

        A = {6 elementos, los que en el segundo dado aparece el cuatro}

   

  A = {(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)}

 

Luego,

 

AÇE = {(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)}, ½AÇE½= 4 elementos

 

Por tanto;

 

p(A½E) = ½AÇE½/ ½E½= 4/21 = 0.19048

 

b.      E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete

 

 

       (6,1)

       (5,2) (6,2)

E =  (4,3) (5,3) (6,3)

       (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

       (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

       (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

 

 

A = evento de que ambos números sean pares

 

 

         (2,2) (4,2) (6,2)

 

A =   (2,4) (4,4) (6,4)

       

         (2,6) (4,6) (6,6)

 

 

 

              (6,2)

 

AÇE = (4,4) (6,4)                                    ½AÇE½= 6 elementos

       

              (2,6) (4,6) (6,6)

 

 

p(A½E)  = ½AÇE½/ ½E½

  = 6/ 21

  = 0.28571

 

c.       E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos

siete

 

 

       (6,1)

       (5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

       (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

       (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

       (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

 

 

A = evento de que en el primer dado aparezca el número dos

 

 

       (2,1)

       (2,2)

A = (2,3)

       (2,4)

       (2,5)

       (2,6)

AÇE = {(2,5)},       ½AÇE½= 1 elemento

 

 

P(A½E) = ½AÇE½/½E½

  = 1/21

  = 0.04762

 

2.Se seleccionan al azar dos números de entre los números del  1 al 9, si la suma de los números que aparecen es par, a. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean impares.

 

Solución:

 

d = {9C2 = 36 maneras de seleccionar dos números de entre nueve que se tienen}

 

        (1,2)

       (1,3) (2,3)

       (1,4) (2,4) (3,4)

d =  (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)

       (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)

       (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7)

       (1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8)

       (1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9)

 

 

a.       E = evento de que la suma de los números que se seleccionan sea par

 

        

       (1,3)

       (2,4)

E =  (1,5) (3,5)

       (2,6) (4,6)

       (1,3) (3,7) (5,7)

       (2,8) (4,8) (6,8)

       (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

 

E = {16 elementos }

 

A = evento de que ambos números sean pares

 

   

        (2,4)

 

A =  (2,6) (4,6)

      

       (2,8) (4,8) (6,8)

 

 

A = {6 elementos}

 

              (2,4)

 

AÇE =  (2,6) (4,6)

      

              (2,8) (4,8) (6,8)

 

 

½AÇE½ = 6 elementos ,              p(A½E) = ½AÇE½/ ½E½= 6/16 = 0.375

 

 

b.      E = evento de que la suma de los números seleccionados es par

    

       (1,3)

       (2,4)

E =  (1,5) (3,5)

       (2,6) (4,6)

       (1,3) (3,7) (5,7)

       (2,8) (4,8) (6,8)

             (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

 

     A = evento de que ambos números sean impares

 

       (1,3)

 

A = (1,5) (3,5)

      

       (1,7) (3,7) (5,7)

      

       (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

 

A = {10 elementos},            

 

             (1,3)

 

AÇE = (1,5) (3,5)

      

             (1,7) (3,7) (5,7)

      

             (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

 

 

½AÇE½= 10 elementos;     p(A½E)= ½AÇE½/ ½E½= 10/16 = 0.625

 

 

Este ejercicio también puede ser resuelto haciendo uso de las combinaciones; el espacio muestral puede ser definido;

 

d = {9C2 = 36 maneras de seleccionar los dos números}

 

a.       E = evento de que la suma de los números seleccionados sea par

 

Para que la suma de dos números sea par, forzosamente ambos deben ser pares o impares, por tanto,

 

E = {selección de dos números pares o  de dos impares = 4C2 + 5C2}

 

A = evento de que ambos números sean pares

 

A = {4C2 }

 

AÇE = {4C2 = 6   maneras de seleccionar dos números pares }

 

½AÇE½= 6 elementos

 

p(A½E) = ½AÇE½/½E½= 6/16 = 0.375

 

b.      E = evento de que la suma de los números seleccionados sea par

 

E = {4C2 + 5C2 = 16 maneras de seleccionar dos números de entre nueve}

 

      A = evento de que ambos números sean impares

 

      A = {5C2 = 10 maneras de seleccionar dos números impares}

 

½AÇE½= {5C2 = 10 }

 

p(A½E½= ½AÇE½/½E½= 10/16 = 0.625

 

3. Dada la siguiente tabla referente a la producción de flechas para camión de carga pesada; se inspeccionan 200 flechas del tipo A y B, 300 del tipo C y 400 del tipo D, a continuación se presentan los resultados obtenidos en la inspección;

 

TIPO   FLECHA

DEFECTO

A

B

C

D

TOTAL

I

54

23

40

15

132

II

28

12

14

5

59

S - DEF

118

165

246

380

909

TOTAL

200

200

300

400

1100

 

 

a.       Si se selecciona una flecha al azar y resulta que es una flecha del tipo B, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos, b. Si la flecha seleccionada es del tipo C, ¿cuál es la probabilidad de que tenga defectos del tipo II?, c. Si la flecha seleccionada tiene defectos del tipo I, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo A, d. ¿cuál es la probabilidad de que una flecha no tenga defectos?, e. ¿cuál es la probabilidad de que una flecha tenga defectos?

 

 

Solución:

 

a. Definiremos los eventos;

 

E = evento de que la flecha seleccionada sea del tipo B = {200 elementos o  flechas}

 

A = evento de que la flecha seleccionada no tenga defectos = {909 flechas o elementos}

 

AÇE = {165 elementos del tipo B y que no tienen defectos}

 

p(A½E) = ½AÇE½/½E½= 165/200 = 0.825

 

b.      E = evento de que la flecha sea del tipo C ={300 flechas}

 

A = evento de que la flecha tenga defectos del tipo II ={59 flechas}

 

AÇE = {14 flechas del tipo C y que tienen defectos del II }

 

p(A½E) =½AÇE½/½E½= 14/300 = 0.04667

 

c.       E = evento de que la flecha tenga defectos del tipo I = {132 flechas}

A = evento de que la flecha sea del tipo A = {200 flechas}

 

AÇE = {54 flechas con defectos del tipo I y del tipo A}

 

p(A½E) = ½AÇE½/½E½= 54 / 132 = 0.40901

 

d. En este caso se trata de una probabilidad simple, ya que no hay un evento que esté condicionando al evento del cual se desea determinar su probabilidad

     

D = evento de que una flecha no tenga defectos = {909 flechas}

 

d = {1100 flechas}

 

p(D) = 909/1100 = 0.82636

 

d.      F = evento de que una flecha tenga defectos = {132 + 59 = 191 flechas}

 

d = {1100 flechas}

 

p(F) = 191 / 1100 = 0.17364

 

 

 

 

4. Una pareja de recién casa dos ha decidido formar una familia de solo tres hijos, a. determine la probabilidad de que tenga puros hijos varones, b. ¿cuál es la probabilidad de que tenga como máximo un hijo varón, c. ¿cuál es la probabilidad de que su segundo hijo sea varón, d. Si esta familia tiene por lo menos una hija, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo hijo sea varón?, e. Si esta familia tiene como máximo un hijo varón, ¿cuál es la probabilidad de que tenga puras hijas?

 

Solución:

 

Lo primero que hay que obtener para resolver este problema es el espacio muestral, para lo cual nos podemos ayudar con un diagrama de árbol en donde representemos uno tras otro el nacimiento de cada uno de sus hijos, en donde solo consideraremos partos de un solo bebé, no múltiples y se considera que existe la misma probabilidad de que nazca un varón o una niña.

 

Y el espacio muestral obtenido es:

H = niño

M = niña

 

d = {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}

 

a.       A = evento de que la familia tenga puros hijos varones

 

 

A = {HHH}

 

p(A) = 1/8 = 0.125

 

b.      B = evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón

 

B = {ningún hijo varón o un hijo varón}= {MMM, HMM, MHM, MMH}

 

p(B) = 4/8 = 1/2 =0.5

 

c.       C = evento de que el segundo hijo de la familia sea varón

C = {HHH, HHM, MHH, MHM }

 

P(C) = 4/8 =1/2 = 0.5

 

d.      Como en este caso se trata de calcular una probabilidad de tipo condicional, se requiere definir dos eventos, el evento E que es el que condiciona y el evento A;

E = evento de que la familia tenga por lo menos una hija

E = {tenga una o más hijas}

 

E = {HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}= {7 elementos}

 

A = evento de que el segundo hijo sea varón

 

A = { HHH, HHM, MHH, MHM }

 

AÇE = { HHM, MHH, MHM }= {3 elementos}

 

Luego;

 

p(A½E) = ½AÇE½/½E½= 3/7 =  0.42857

 

e.       E = evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón

A = evento de que la familia tenga puras hijas

 

E = {MMM, MHM, MMH, HMM}= {4 elementos}

 

A = {MMM}

 

AÇE = {MMM} = {1 elemento}

 

P(A½E) = ½AÇE½/½E½= 1/4 = 0.25

 

5. Según las estadísticas, la probabilidad de que un auto que llega a cierta gasolinera cargue gasolina es de 0.79, mientras que la probabilidad de que ponga aceite al motor es de 0.11 y la probabilidad de que ponga gasolina y aceite al motor es de 0.06, a. Sí un auto carga gasolina, ¿cuál es la probabilidad de que ponga aceite?, b. Sí un auto pone aceite al motor, ¿cuál es la probabilidad de que ponga gasolina?

 

Solución:

 

a.       E = evento de que un auto cargue gasolina

b.       

p(E) = 0.79

 

A = evento de que un auto ponga aceite al motor

 

P(A) = 0.11

 

AÇE = evento de que un auto ponga gasolina y aceite

 

p(AÇE) = 0.07

p(A½E) = p(AÇE)/p(E) = 0.07/ 0.79 = 0.0881

 

c.       E = evento de que un auto ponga aceite al motor

 

P(E) = 0.11

 

A = evento de que un auto ponga gasolina

 

P(A) = 0.79

 

AÇE = evento de que un auto ponga aceite al motor y ponga gasolina

 

P(AÇE) = 0.07

P(A½E) = p(AÇE)/ p(E) = 0.07/0.11 = 0.63636

6.- La probabilidad de que un auto de carreras cargue gasolina en cierto circuito en la primera media hora de recorrido es de 0.58, la probabilidad de que cambie de neumáticos en esa primera media hora de recorrido es de 0.16, la probabilidad de que cargue gasolina y cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido es de 0.05, a. ¿Cuál es la probabilidad de que cargue gasolina o cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido?, b. ¿cuál es la probabilidad de que no cargue combustible y de neumáticos en la primera media hora de recorrido,  c. Si el auto cambia de neumáticos en la primera media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cargue combustible también?, d. Si el auto carga combustible en la primera media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cambie de neumáticos también?

Solución:

a.       A = evento de que cargue gasolina en la primera media hora de recorrido

P(A) = 0.58

B = evento de que cambie de neumáticos en la primera hora de recorrido

P(B) = 0.16

AÇB = evento de que cargue combustible y cambie de neumáticos en la primera hora de recorrido

P(AÇB) = 0.05

P(cargue gasolina o cambie de neumáticos) = p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB) = 0.58 + 0.16 – 0.05 = 0.69

b.      p( no cargue combustible y no cambie de neumáticos) = 1 – p(AÈB) = 1 – 0.69 = 0.31

c.       E = evento de que el auto cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido

A = evento de que el auto cargue combustible en la primera media hora de recorrido

p(A½E) = p(AÇE)/ p(E) = 0.05/0.16 = 0.3125

d.      E = evento de que el auto cargue combustible en la primera media hora de recorrido

A = es el evento de que el auto cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido

p(A½E) = p(AÇE)/p(E) = 0.05/0.58 = 0.08621