E) PERMUTACIONES CON REPETICION.

 

En los casos anteriores se han obtenido permutaciones en donde todos los elementos utilizados para  hacer los arreglos son diferentes. A continuación se obtendrá una fórmula que nos permite obtener las permutaciones de n objetos, cuando entre esos objetos hay algunos que son iguales.

 

Ejemplo:

Obtenga todas las permutaciones posibles a obtener con las letras de la palabra OSO.

Solución:

 

Para obtener la fórmula, es necesario primero suponer que todas las letras de la palabra OSO son diferentes y para diferenciarlas pondremos subíndices a las letras O, por lo que quedaría, O1SO2, y las permutaciones a obtener serían:

 

  3P3 = 3! = 6

 

definiendo las permutaciones tenemos que estas serían,

 

                     O1SO2, O2SO1, SO1O2, SO2O1, O1O2S, O2O1S

 

¿Pero realmente podemos hacer diferentes a las letras O?, eso no es posible, luego entonces ¿cuántos arreglos reales se tienen?

 

Como:

                                         Arreglos reales

O1SO2 = O2SO1             ®             OSO

SO1O2 = SO2O1              ®            SOO

O1O2S= O2O1S          ®             OOS

 

 

Entonces se observa que en realidad sólo es posible obtener tres permutaciones con las letras de la palabra OSO debido a que las letras O son idénticas, ¿pero qué es lo que nos hizo pensar en seis arreglos en lugar de tres?, el cambio que hicimos entre las letras O cuando las consideramos diferentes, cuando en realidad son iguales.

 

Para obtener los arreglos reales es necesario partir de la siguiente expresión:

 

 

El número de arreglos reales = No. de permutaciones considerando a todos los objetos como diferentes

                                                      Los cambios entre objetos iguales                                                  

 

 

            El número de arreglos reales =  3! /  2! = 3 x 2! / 2! = 3

 

 

 Por tanto la fórmula a utilizar sería;

                                                                         

 

Donde:

 

nPx1,x2,......, xk = Número total de permutaciones que es posible obtener con n objetos, entre los que hay una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de objetos de un segundo tipo,...... y una cantidad xk de objetos del tipo k.

 

n = x1 + x2 + ...... + xk

 

Ejemplos:

 

1)      Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.

 

Solución:

 

n = 6 banderines

x1 = 2 banderines rojos

x2 = 3 banderines verdes

x3 = 1 banderín morado

 

 

                  6P2,3,1 = 6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes

 

 

2)      a.¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1,1,1,2,3,3,3,3?, b.¿cuántas de las claves anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?, c. ¿cuántas de las  claves del inciso a empiezan por el número dos y terminan por el número tres?

 

Solución:

 

a. n = 8 números

    x1 = 3 números uno

    x2 = 1 número dos

    x3 = 4 números cuatro

 

                        8P3,1,4 = 8! / 3!1!4! = 280 claves de acceso

 

 

b. n = 6 (se excluye un número uno y un dos)

    x1 = 2 números uno

    x2 = 4 números tres

                        1 x 1 x 6P2,4 = 1 x 1 x 6! / 2!4! = 15 claves de acceso

 

El primer número uno nos indica el número de maneras como es posible colocar en la primera posición de la clave de acceso un número uno, debido a que todos los números uno son iguales, entonces tenemos una sola manera de seleccionar un número uno para la primera posición, el siguiente número uno nos indica el número de maneras como se colocaría en la segunda posición el número dos y la expresión siguiente nos indica todos los arreglos posibles que es posible diseñar con los números restantes.

 

c. n = 6 (se excluye un número dos y un tres)

    x1 = 3 números uno

    x2 = 3 números tres

 

                        1 x 6P3,3 x1 = 1 x 6! / 3!3! = 20 claves de acceso

 

El número uno inicial nos indica que existe una sola manera de seleccionar el número dos que va en la primera posición del arreglo, mientras que el número uno final nos indica que hay una sola manera de seleccionar el número tres que va al final del arreglo aún y cuando haya cuatro números tres, como estos son iguales al diseñar una permutación es indistinto cuál número tres se ponga, ya que siempre se tendrá el mismo arreglo y la expresión intermedia nos indica todos los arreglos posibles a realizar con los números restantes.

 

3)      ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos?

 

Solución:

 

n = 9 árboles

x1 = 2 nogales

x2 = 4 manzanos

x3 = 3 ciruelos

 

                  9P2,4,3 = 9! / 2!4!3! = 1260 maneras de plantar los árboles

 

4)      Si un equipo de fútbol soccer femenil participa en 12 juegos en una temporada, ¿cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos?

 

Solución:

 

n = 12 juegos

x1 = 7 victorias

x2 = 3 empates

x3 = 2 juegos perdidos

 

                 

                  12P7,3,2 = 12! / 7!3!2! = 7,920 maneras de que en la temporada este equipo logre siete victorias, tres empates y dos juegos perdidos.