D)   DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.

 

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria x, la que puede ser de dos tipos:

1.      Variable aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos.

 

Ejemplos:

x® Variable que nos define el número de burbujas por envase de vidrio que son generadas en un proceso dado.

x®0, 1, 2, 3, 4, 5, etc, etc. burbujas por envase

x®Variable que nos define el número de productos defectuosos en un lote de 25 productos.

x®0, 1, 2, 3,....,25 productos defectuosos en el lote

 

x®Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos.

x®0, 1, 2, 3, 4, 5,....,40 alumnos aprobados en probabilidad

 

Con los ejemplos anteriores nos damos cuenta claramente que los valores de la variable x siempre serán enteros, nunca fraccionarios.

 

2.      Variable aleatoria continua (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque los valores que toma son totalmente al azar y continua porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos.

 

Ejemplos:

 

x®Variable que nos define el diámetro de un engrane en pulgadas

x®5.0”, 4.99, 4.98, 5.0, 5.01, 5.0, 4.96

 

x®Variable que nos define la longitud de un cable o circuito utilizado en un arnés de auto

x®20.5 cm, 20.1, 20.0, 19.8, 20,6, 20.0, 20.0

 

x®Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral

x®14.8gramos, 12.0, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8

 

Como se observa en los ejemplos anteriores, una variable continua puede tomar cualquier valor, entero o fraccionario, una forma de distinguir cuando se trata de una variable continua es que esta variable nos permite medirla o evaluarla, mientras que una variable discreta no es medible, es una variable de tipo atributo, cuando se inspecciona un producto este puede ser defectuoso o no, blanco o negro, cumple con las especificaciones o no cumple, etc, etc.

 

Las variables descritas anteriormente nos generan una distribución de probabilidad, las que pueden ser.

 

1)      Distribución de probabilidad discreta.

2)      Distribución de probabilidad continua.

 

 

Las características de cada una de las distribuciones anteriores se mencionarán a continuación:

 

 

DISTRIBUCIÓN  DE  PROBABILIDAD  DISCRETA.

Características:

  1. Es generada por una variable discreta (x).

 

x®Variable que solo toma valores enteros

x®0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... etc,etc.

 

2. p(xi)³0   Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero.

 

3.Sp(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.

 

 

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA.

Características:

  1. Es generada por una variable continua (x).

 

x®   Es una variable que puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios.

 

x®   1.0, 3.7, 4.0, 4.6, 7.9, 8.0, 8.3, 11.5, .....,¥

 

  1. f(x)³0    Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero. La función de densidad de probabilidad sólo puede estar definida en los cuadrantes I y II.

 

3.    La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1. El área definida bajo la función de densidad de probabilidad  deberá ser de 1.

 

 

CALCULO DE MEDIA Y DESVIACIÓN ESTANDAR PARA UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA

 

1.      Media o valor esperado de x.- Para determinar la media de la distribución discreta se utiliza la siguiente fórmula:

 

                                                       

 

Donde:

m = media de la distribución

E(x) = valor esperado de x

xi = valores que toma la variable

p(xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores de la variable x

 

  1. Desviación estándar. Para determinar la desviación estándar de la distribución discreta se utiliza la siguiente fórmula:

 

                                                   

Donde:

s = desviación estándar

m = media o valor esperado de x

xi = valores que toma la variable x

p(xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores que toma x

 

Ejemplos:

  1. Según estadísticas la probabilidad de que el motor de un auto nuevo, de cierto modelo, y  marca sufra de algún desperfecto en los primeros 12 meses de uso es de 0.02, si se prueban tres automóviles de esta marca  y modelo, encuentre el número esperado de autos que no sufren de algún desperfecto en los primeros doce meses de uso y su desviación estándar.

 

Solución:

Haciendo uso de un diagrama de árbol, usando las literales siguientes, se obtiene el espacio muestral d como se muestra a continuación;

      N = no sufre de algún desperfecto en el motor los primeros 12 meses de uso

S =  sufre de algún desperfecto en el motor los primeros 12 meses de uso

 

 

 

N

 

 


                                   N

                                               S

 

                        N

                                               N                               

                                   S

                                              

                                               S

                                              

                                               N

                                  

1er auto                       N        

                                               S

                        S         

                                         N

                  2o auto            S         

                            

                                3o      S

d = {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SNS, SSN, SSS}

 

x = variable que nos define el número de autos que no sufre de algún desperfecto en el motor durante los primeros 12 meses de uso

 

x = 0, 1, 2 o 3 autos que no sufren algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso

 

 

p(x=0)=p(SSS)=(0.02)(0.02)(0.02)=0.000008

p(x=1)=p(NSS, SNS, SSN)=(0.98)(0.02)(0.02)+(0.02)(0.98)(0.02)+(0.02)(0.02)(0.98)=

=0.001176

p(x=2)=p(NNS,NSN,SNN)=(0.98)(0.98)(0.02)+(0.98)(0.02)(0.98)+(0.02)(0.98)(0.98)==0.057624

      p(NNN) = (0.98)(0.98)(0.98) =0.941192

 

Por tanto  la media o valor esperado se determina de la siguiente manera:

 

 

m =E(x) = (0)(0.000008)+(1)(0.001176)+(2)(0.057624)+(3)(0.941192)=

=0.0+0.001176+0.115248+2.823576=2.94@ 3 autos que no sufren algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso

 

La interpretación de la media o valor esperado es; se espera que los 3 autos probados no sufran de algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso.

 

                 s==

 

               =±0.2497@±0.0 autos que no sufren algún desperfecto en su motor en los primeros 12 meses de uso.

 

 

Interpretación:

En este experimento se espera que los 3 autos probados no sufran de algún desperfecto en su motor en los primeros 12 meses de uso y la variabilidad de este experimento es de cero.

 

Nota:

 La media y la desviación estándar se redondean a un valor entero ya que son la media y desviación de una distribución de probabilidad discreta.

 

 

  1. Se ha detectado en una línea de producción que 1 de cada 10 artículos fabricados es defectuoso; se toman de esa línea tres artículos uno tras otro, a) obtenga la distribución de probabilidad del experimento, b) encuentre el número esperado de artículos defectuosos en esa muestra y su desviación estándar.

 

Solución:

También haciendo uso de in diagrama de árbol, se obtiene el espacio muestral d

 

a)

D = objeto defectuoso

N = objeto no defectuoso

d={DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}

 

Este espacio muestral ha sido obtenido haciendo uso de un diagrama de árbol,

 

x = Variable que nos define el número de objetos defectuosos encontrados

x = 0, 1, 2 o 3 objetos defectuosos

 

p(x=0)=p(NNN)=(0.9)(0.9(0.9)=0.729

p(x=1)=p(DNN, NDN, NND)=(0.1)(0.9)(0.9)+(0.9)(0.1)(0.9)+(0.9)(0.9)(0.1)=0.243

p(x=2)=p(DDN, DND, NDD)=(0.1)(0.1)(0.9)+(0.1)(0.9)(0.1)+(0.9)(0.1)(0.1)=0.027

p(x=3)=p(DDD)=(0.1)(0.1)(0.1)=0.001

 

Distribución de probabilidad

 

x

0

1

2

3

P(x)

0.729

0.243

0.027

0.001

 

 

 

b) (0)(0.729)+(1)(0.243)+(2)(0.027)+(3)(0.001)=

    = 0.0 + 0.243 + 0.054 + 0.003 = 0.3 @0 productos defectuosos

 

Interpretación:

 Se espera que ninguno de los productos inspeccionados sea defectuoso.

 

                 

 

=± 0.6 =± 1 producto defectuoso

 

 

Interpretación:

En este experimento se espera que ninguno de los productos inspeccionados sea defectuoso, pero los resultados de este experimento pueden variar en ± 1 producto defectuoso, por lo que al inspeccionar los 3 productos el numero de productos defectuosos puede variar desde –1 producto defectuoso, hasta 1 producto defectuoso, pero, ¿es posible obtener –1 producto defectuoso?, claro que esto no puede ocurrir, luego el número de productos defectuosos en el experimento variará de 0 a 1 producto defectuoso solamente.

 

 

  1. Según estadísticas, la probabilidad de que un pozo petrolero que se perfore en cierta región pueda ser beneficiado es de 0.30. Se perforan tres pozos en esa región, encuentre el número esperado de pozos que pueden ser beneficiados y su desviación estándar.

 

Solución:

Se obtiene el espacio muestral d, de la misma forma que se ha hecho en los ejemplos anteriores;

 

B = se puede el pozo que se perfora

N = no se puede beneficiar el pozo que se perfora

 

d= {BBB, BBN, BNB, BNN, NBB, NBN, NNB, NNN}

 

x = variable que nos define el número de pozos que se pueden beneficiar

x = 0, 1, 2 o 3 pozos que se pueden beneficiar

 

p’(x = 0) = p(NNN) = (0.7)(0.7)(0.7)= 0.343

p(x = 1) = p(BNN, NBN, NNB) = (0.3)(0.7)(0.7)(3)=0.441

p(x = 2) = p(BBN, BNB, NBB) = (0.3)(0.3)(0.7)(3)=0.189

p(x = 3) = p(BBB) =(0.3)(0.3)(0.3)= 0.027

 

 

@1 pozo beneficiado

 

Interpretación:

Se espera que solo 1 de los tres pozos perforados sea el que pueda ser beneficiado.

 

           

Interpretación:

La cantidad esperada de pozos que se pueden beneficiar puede variar en 1 ± 1 pozo, esto es la cantidad de pozos que se pueden beneficiar puede variar de 0 a 2 pozos.

 

  1. La distribución de probabilidad de x , el número de defectos por cada 10 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme , es

 

 

x

0

1

2

3

4

p(x)

0.41

0.37

0.16

0.05

0.01

 

a)      Determine la distribución de probabilidad acumulada de x; P(x).

b)      Determine el número esperado de defectos por cada 10 metros de tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme y la desviación estándar del número de defectos por cada 10 metros de tela .....

c)      Determine la probabilidad de que en 10 metros de tela sintética se encuentren como máximo 2 defectos.

d)      Determine la probabilidad de que en 10 metros de tela sintética se encuentren por lo menos 2 defectos.

 

 

Solución:

 

a)

X

0

1

2

3

4

p(x)

0.41

0.37

0.16

0.05

0.01

P(x)

0.41

0.78

0.94

0.99

1.0

 

b)

@ 1 defecto

 

Interpretación:0.16, 0.05 ,0.01

Se espera que por cada 10 metros de tela se encuentre un defecto.

 

         

          

 

Interpretación:

El número de defectos esperado puede variar en ± 1 defecto, es decir que el número de defectos esperado por cada 10 metros de tela puede variar de 0 a 2.

 

c)        p(x £ 2)= p(x=0) + p(x=1) + p(x=2) = 0.41+0.37+0.16 = 0.94

 

d)        p(x ³ 2) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4) = 0.16 + 0.05 + 0.01= 0.22

 

 

     

CALCULO DE MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR PARA UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA

     1.Media o valor esperado de x.- Para calcular la media de una distribución de probabilidad continua se utiliza la siguiente fórmula:

 

                              

Donde:

*   m = E(x) = media o valor esperado de la distribución

*   x =  variable aleatoria continua

*   f(x) = función de densidad de la distribución de probabilidad

 

 

 

2.Desviación estándar.- La fórmula para determinar la desviación estándar de una distribución continua es;

 

 

luego:

        

 

Ejemplos:

  1. Para la siguiente función,

 

 

            cuando 0£ x £ 3 ,      f(x) = 0 para cualquier otro valor

 

a)      Diga si esta función nos define una distribución de probabilidad.

b)      Si la función define una distribución de probabilidad, entonces, determine su media y desviación estándar.

c)      Determine la probabilidad de que 1£ x < 2.

Solución:

 

a)      Para verificar que la función nos define una distribución de probabilidad, es necesario que cumpla con las características que se habían mencionado.

1.      x ®  sí es una variable continua porque puede tomar cualquier valor entre 0 y 3

2.      f(x)³ 0,  lo que se comprueba si damos diferentes valores a x para ver que valores toma f(x), dándonos cuenta de que efectivamente f(x) solo toma valores mayores o iguales a cero.

 

 

x

f(x)

0

0.0

0.5

0.02778

1.0

0.11111

1.4

0.21778

2.1

0.49

2.7

0.81

3.0

1.0

 

3.      Para comprobar que la sumatoria de las probabilidades que toma cada       valor de x es de 1, se integra la función de 0 a 3 como se muestra a continuación:

 

 

       

 

A= área bajo la función

Con las operaciones anteriores comprobamos que la función sí nos define una distribución de probabilidad continua.

 

b)      Cálculo de media y desviación estándar.

 

 

 

 

                 

 

                        

 

                         

 

                         

 

 

Las barras nos indican la evaluación de la integral entre 0 y 3.

 

c)                   

 

La barra nos indica la evaluación de la integral de 1 a 2.

 

Con las operaciones anteriores nos damos cuenta que para evaluar probabilidades para variables de tipo continuo, es necesario evaluar la función de densidad de probabilidad en el rango de valores que se desea; que vendría siendo el área que se encuentra entre f(x) y el eje de las x y entre el rango de valores definidos por la variable x.

 

 

  1. Suponga que el error en la temperatura de reacción, en oC, para un experimento controlado de laboratorio es una variable aleatoria continua x, que tiene la función de densidad de probabilidad:

 

 

             , para -1< x < 2     y    f(x) = 0 en cualquier otro caso

 

a)      Verifique la tercera condición de la definición de una distribución de probabilidad continua.

b)      Determine la media o valor esperado de la distribución de probabilidad.

c)      Encuentre la probabilidad de que 0< x £ 1.

 

 

Solución:

 

a)      Como la tercera condición es que la sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe de ser 1, esto se comprueba de la siguiente manera:

 

 

 

    

 

b)          

 

                                 

 

                 c)