3. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL.
A pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos problemas en ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de densidad, tales como la exponencial y la gamma y algunas otras como la weibull, etc., etc., de momento solo trataremos sobre el uso de la exponencial.
Resulta que la exponencial
es un caso especial de la distribución gamma, ambas tienen un gran número de
aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante
tanto en teoría de colas como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre
las llegadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los
componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente involucran la distribución
exponencial. La relación entre la gamma y la exponencial permite que la
distribución gamma se utilice en tipos similares de problemas.
La variable aleatoria x
tiene una distribución exponencial, con parámetro b, si su función de densidad
es:
, x > 0 ; f(x) = 0 en cualquier otro caso
donde b > 0
La media y la variancia de la distribución exponencial son:
m = b y s2 = b2
Relación con el proceso de Poisson.
Las aplicaciones más
importantes de la distribución exponencial son aquellas situaciones en donde se
aplica el proceso de Poisson , es necesario recordar que un proceso de Poisson
permite el uso de la distribución de Poisson. Recuérdese también que la distribución de Poisson se utiliza
para calcular la probabilidad de números específicos de “eventos” durante un
período o espacio particular. En muchas aplicaciones, el período o la cantidad
de espacio es la variable aleatoria. Por ejemplo un ingeniero industrial puede
interesarse en el tiempo T entre llegadas en una intersección congestionada
durante la hora de salida de trabajo en una gran ciudad. Una llegada representa
el evento de Poisson.
La relación entre la
distribución exponencial (con frecuencia llamada exponencial negativa) y el
proceso llamado de Poisson es bastante simple. La distribución de Poisson se
desarrolló como una distribución de un solo parámetro l, donde l puede interpretarse como el
número promedio de eventos por unidad de “tiempo” . Considérese ahora la
variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que ocurra el
primer evento. Mediante la distribución de Poisson, se encuentra que la
probabilidad de que no ocurran en el espacio hasta el tiempo t está dada por:
; 
Ahora puede utilizarse lo
anterior y hacer que X sea el tiempo
para el primer evento de Poisson. La probabilidad de que el período hasta que ocurre
el primer evento de Poisson exceda x es la misma que la probabilidad de
que no ocurra un evento de Poisson en x. Esto último por supuesto está
dado por 
. Como resultado,
P(X ³ x) = 
Entonces, la función de
distribución acumulada para x es:
P(0£ X £ x) = 1
- 
Ahora, con objeto de que se
reconozca la presencia de la distribución exponencial, puede derivarse la
distribución acumulada anterior para obtener la función de densidad:
f(x) = 
La cual es la función de
densidad de la distribución exponencial con 
.
Nótese que la media de la
distribución exponencial es el parámetro 
, el recíproco del parámetro en la distribución de Poisson.
El lector debe recordar que con frecuencia se dice que la distribución de
Poisson no tiene memoria, lo cuál implica que las ocurrencias en períodos de
tiempo sucesivos son independientes. Aquí el parámetro importante 
es el tiempo promedio
entre eventos. En teoría de la confiabilidad,
donde la falla de un equipo concuerda con el proceso de Poisson, 
recibe el nombre de
tiempo promedio entre fallas. Muchas descomposturas de equipo siguen el proceso
de Poisson, y entonces la distribución exponencial es aplicable.
En el siguiente ejemplo se
muestra una aplicación simple de la distribución exponencial en un problema de
confiabilidad. La distribución binomial también juega un papel importante en la
solución.
Ejemplos:
- Suponga
que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años
está dado por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con
tiempo promedio de falla
. S í 5 de estos componentes se instalan en diferentes
sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando
después de 8 años?
Solución:
La probabilidad de que un
determinado componente esté funcionando aún después de 8 años es:
la | nos indica
que la integral se va a evaluar desde 8
hasta ¥
Sea x el número de
componentes funcionando después de 8 años. Entonces mediante la distribución
Binomial,
n = 5
p = 0.20 = probabilidad de
que un componente esté funcionando después de 8 años
q = 1-p = 0.80 =
probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años
P(x ³ 2 ) =
p(x=2) + p(x=3) + p(x=4)+p(x=5) = 1 – p(x = 0, 1)
- El tiempo que transcurre antes de
que una persona sea atendida en una cafetería es una variable aleatoria
que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál
es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que
transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días siguientes?
Solución:
la
nos indica que la integral va a ser evaluada de 0 a 3
x = número de días en que un
cliente es atendido antes de que transcurran 3 minutos
x = 0, 1, 2,...,6 días
p = probabilidad de que un cliente sea
atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 0.5276
q = probabilidad de que un cliente no sea
atendido antes de que transcurran 3
minutos en un día cualquiera = 1- p = 0.4724
= 0.11587 + 0.02157 = 0.13744