3)  DISTRIBUCIÓN  HIPERGEOMÉTRICA.

 

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:

a)      Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.

b)      Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

c)      Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.

d)      El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

 

 

Ejemplo:

En una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una cantidad a de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al azar, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos?

 Solución:

 

Luego;

 

 

                                   

 

donde:

p(x,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n seleccionados

 

muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos y n-x buenos

 

todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos tomadas de entre N objetos en total = espacio muestral

 

 

Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?

 

Solución:

 

N = 10 objetos en total

a = 3 objetos defectuosos

n = 4 objetos seleccionados en muestra

x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra

       

 

 

                

 

 

donde:

 

                  probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron, con lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes

 

                formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados = muestras de 4 objetos entre los que 2 son defectuosos

 

 

Como se observa en el desarrollo de la solución del problema, la pretensión es demostrar que las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

 

Luego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar sería:

 

 

                                                           

 

 

Ejemplos:

  1. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas  de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.

 

Solución:

a) N = 9+6 =15 total de tabletas

a = 6 tabletas de narcótico

n = 3 tabletas seleccionadas

x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas

 

p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico)

 

                              

 

                            

 

otra forma de resolver;

 

p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1 – p(de que entre las tabletas  seleccionadas no haya una sola de narcótico)

 

                                       

 

                                      

b)      p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)

 

                 

 

                                                   

 

 

  1. De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?

 

Solución:

a) N = 10 proyectiles en total

a = 7 proyectiles que explotan

n = 4 proyectiles seleccionados

x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara

 

                             

 

b)  N = 10 proyectiles en total

a = 3 proyectiles que no explotan

n = 4 proyectiles seleccionados

x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan

 

p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) =

 

                    

 

 

  1. a)¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad?

Solución:

 

a) N = 9  total de estudiantes

a = 4 estudiantes menores de edad

n = 5 identificaciones seleccionadas

x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad

x = 0, 1, 2,  3 o 4 identificaciones de personas menores de edad

 

                         

 

    b) N = 9 total de estudiantes

    a = 4 estudiantes menores de edad

    n = 5 identificaciones seleccionadas

    x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad

    x = 0, 1, 2,  3 o 4 identificaciones de personas menores de edad

 

 

                          

 

                                                      

 

4. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embarca. a)¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos?, b)¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo un artículo defectuoso se regresa para verificación?