B) AXIOMAS Y TEOREMAS.

 

Para el cŠlculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuaciůn se enumeran.

 

1)La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.

 

0 £ p(A) 1

 

2)La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1.

 

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† p(d) = 1

 

3)Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(A»B) = p(A) + p(B)

††††††††††††††††††††††††††††††††††

Generalizando:

 

Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;

 

p(A1»A2».........»An) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)

 

TEOREMAS

 

d

 
TEOREMA 1. Si f es un evento nulo o vacŪo, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.

 

A

 
††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††p(f)=0

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††

 

 

 

DEMOSTRACI”N:

Si sumamos a fun evento A cualquiera, como f y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(Af»)=p(A) +p(f)=p(A). LQQD

 

 

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 Ė p(A)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


DEMOSTRACI”N:

Si el espacio muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego d=A»Ac, por tanto p(d)=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p(d)=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQD

 

TEOREMA 3. Si un evento A Ő B, entonces la p(A) £ p(B).

 

 

 

 

 

 

 

 

 


DEMOSTRACI”N:

Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=A»(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)0 entonces se cumple que p(A)£p(B). LQQD

 

 

 

 

 

TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) Ė p(A«B)

 

 

 

 

 

 

 


DEMOSTRACI”N: Si A y B sondos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y A«B, por tanto, A=(A \ B)»(A«B), luego p(A)=p(A \ B) + p(A«B), entonces, p(A \ B) = p(A) Ė p(A«B).LQQD

 

 

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(A»B)=p(A) + p(B) Ė p(A«B).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


DEMOSTRACI”N:

Si A»B = (A \ B) » B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A » B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) Ė p(A«B), por tanto, p(A»B) = p(A) + p(B) Ė p(A«B).LQQD

 

COROLARIO:

A«B«C

 

A«B

 
Para tres eventos A, B y C, p(A»B»C) = p(A) + p(B) + p(C) Ė p(A«B) Ė p(A«C) Ė (B«C) + p(A«B«C).