También se puede utilizar la prueba de signo para probar la hipótesis nula para observaciones pareadas. Aquí se reemplaza cada diferencia, d_i, con un signo más o menos dependiendo si la diferencia ajustada, d_i-d₀, es positiva o negativa. A lo largo de esta sección suponemos que las poblaciones son simétricas. Sin embargo, aun si las poblaciones son asimétricas se puede llevar a cabo el mismo procedimiento de prueba, pero las hipótesis se refieren a las medianas poblacionales en lugar de las medias.

Ejemplo:

1. Una compañía de taxis trata de decidir si el uso de llantas radiales en lugar de llantas regulares con cinturón mejora la economía de combustible. Se equipan 16 automóviles con llantas radiales y se manejan por un recorrido de prueba establecido. Sin cambiar de conductores, se equipan los mismos autos con llantas regulares con cinturón y se manejan una vez más por el recorrido de prueba. Se registra el consumo de gasolina, en kilómetros por litro, de la siguiente manera:

Si z_R 1.645 no se rechaza H_o.

Automóvil	Llantas radiales	Llantas con cinturón	d
1	4.2	4.1	+
2	4.7	4.9	-
3	6.6	6.2	+
4	7.0	6.9	+
5	6.7	6.8	-
6	4.5	4.4	+
7	5.7	5.7	0
8	6.0	5.8	+
9	7.4	6.9	+
10	4.9	4.9	0
11	6.1	6.0	+
12	5.2	4.9	+
13	5.7	5.3	+
14	6.9	6.5	+
15	6.8	7.1	-
16	4.9	4.8	+

Como 2.14 es mayor a 1.645 se rechaza H₀ y se concluye con un = 0.05 que las llantas radiales mejoran la economía de combustible.

Se puede notar que la prueba de signo utiliza sólo los signos más y menos de las diferencias entre las observaciones y ₀ en el caso de una muestra, o los signos más y menos de las diferencias entro los pares de observaciones en el caso de la muestra pareada, pero no toma en consideración la magnitud de estas diferencias. Una prueba que utiliza dirección y magnitud, propuesta en 1945 por Frank Wilcoxon, se llama ahora comúnmente prueba de rango con signo de Wilcoxon. Esta prueba se aplica en el caso de una distribución continua simétrica. Bajo esta condición se puede probar la hipótesis nula =₀. Primero se resta ₀ de cada valor muestral y se descarta todas las diferencias iguales a cero. Se asigna un rango de 1 a la diferencia absoluta más pequeña, un rango de 2 a la siguiente más pequeña, y así sucesivamente. Cuando el valor absoluto de dos o más diferencias es el mismo, se asigna a cada uno el promedio de los rangos que se asignarían si las diferencias se distinguieran. Por ejemplo, si la quinta y sexta diferencia son iguales en valor absoluto, a cada una se le asignaría un rango de 5.5. Si la hipótesis =₀ es verdadera, el total de los rangos que corresponden a las diferencias positivas debe ser casi igual al total de los rangos que corresponden a las diferencias negativas. Se representan esos totales como w₊ y w_-, respectivamente. Se designa el menor de w₊ y w_- con w.

Al seleccionar muestras repetidas esperaríamos que variarían w₊ y w_-, y por tanto w. De esta manera se puede considerar a w₊ y w_-, y w como valores de las correspondiente variables aleatorias W₊, W_-, y W. La hipótesis nula =₀ se puede rechazar a favor de la alternativa <₀ sólo si w₊ es pequeña y w_- es grande. Del mismo modo, la alternativa >₀ se puede aceptar sólo si w₊ es grande y w_- es pequeña. Para una alternativa bilateral se puede rechazar H₀ a favor de H₁ si w₊ o w_- y por tanto w son suficientemente pequeñas. No importa cuál hipótesis alternativa puede ser, rechazar la hipótesis nula cuando el valor de la estadística apropiada W₊, W_-, o W es suficientemente pequeño.

Para probar la hipótesis nula de que se muestrean dos poblaciones simétricas continuas con ₁=₂ para el caso de una muestra pareada, se clasifican las diferencias de las observaciones paradas sin importar el signo y se procede como en el caso de una muestra. Los diversos procedimientos de prueba para los casos de una sola muestra y de una muestra pareada se resumen en la siguiente tabla:

No es difícil mostrar que siempre que n<5 y el nivel de significancia no exceda 0.05 para una prueba de una cola ó 0.10 para una prueba de dos colas, todos los valores posibles de w₊, w_-, o w conducirán a la aceptación de la hipótesis nula. Sin embargo, cuando 5 n 30, la tabla A.16 muestra valores críticos aproximados de W₊ y W_- para niveles de significancia iguales a 0.01, 0.025 y 0.05 para una prueba de una cola, y valores críticos de W para niveles de significancia iguales a 0.02, 0.05 y 0.10 para una prueba de dos colas. La hipótesis nula se rechaza si el valor calculado w₊, w_-, o w es menor o igual que el valor de tabla apropiado. Por ejemplo, cuando n=12 la tabla A.16 muestra que se requiere un valor de w₊ 17 para que la alternativa unilateral < ₀ sea significativa en el nivel 0.05.

1. Los siguientes datos representan el número de horas que un compensador opera antes de requerir una recarga: 1.5, 2.2, 0.9, 1.3, 2.0, 1.6, 1.8, 1.5, 2.0, 1.2 y 1.7. Utilice la prueba de rango con signo para probar la hipótesis en el nivel de significancia de 0.05 que este compensador particular opera con una media de 1.8 horas antes de requerir una recarga.

Solución:

H₀; = 1.8

H₁; 1.8

Se procederá a efectuar las diferencias y a poner rango con signo a los datos.

Dato	di = dato - 1.8	Rangos
1.5	-0.3	5.5
2.2	0.4	7
0.9	-0.9	10
1.3	-0.5	8
2.0	0.2	3
1.6	-0.2	3
1.8	0	Se anula
1.5	-0.3	5.5
2.0	0.2	3
1.2	-0.6	9
1.7	-0.1	1

Regla de decisión:

Para una n = 10, después de descartar la medición que es igual a 1.8, la tabla A.16 muestra que la región crítica es w 8.

Cálculos:

w₊ = 7 + 3 + 3 = 13

w_- = 5.5 + 10 + 8 + 3 + 5.5 + 9 + 1 = 42

por lo que w = 13 (menor entre w₊ y w_-).

Decisión y Conclusión:

Como 13 no es menor que 8, no se rechaza H₀ y se concluye con un = 0.05 que el tiempo promedio de operación no es significativamente diferente de 1.8 horas.

 

2. Se afirma que un estudiante universitario de último año puede aumentar su calificación en el área del campo de especialidad del examen de registro de graduados en al menos 50 puntos si de antemano se le proporcionan problemas de muestra. Para probar esta afirmación, se dividen 20 estudiantes del último año en 10 pares de modo que cada par tenga casi el mismo promedio de puntos de calidad general en sus primeros años en la universidad. Los problemas y respuestas de muestra se proporcionan al azar a un miembro de cada par una semana antes del examen. Se registran las siguientes calificaciones del examen:

La prueba de rango con signo también se puede utilizar para probar la hipótesis nula ₁-₂ = d₀. En este caso las poblaciones no necesitan ser simétricas. Como con la prueba de signo, se resta d₀ de cada diferencia, se clasifican las diferencias ajustadas sin importar el signo y se aplica el mismo procedimiento.

En este caso d₀ = 50, por lo que se procede a calcular las diferencias entre las muestras y luego restarles el valor de 50. Se representara con ₁ y ₂ la calificación media de todos los estudiantes que resuelven el examen en cuestión con y sin problemas de muestra, respectivamente.

H₀; ₁ - ₂ = 50

H₁; ₁ - ₂ < 50

Para n=10 la tabla muestra que la región crítica es w₊ 11.

Par	Con problemas de muestra	Sin problemas de muestra	di	di – d0	Rangos
1	531	509	22	-28	5
2	621	540	81	31	6
3	663	688	-25	-75	9
4	579	502	77	27	3.5
5	451	424	27	-23	2
6	660	683	-23	-73	8
7	591	568	23	-27	3.5
8	719	748	-29	-79	10
9	543	530	13	-37	7
10	575	524	51	1	1

Como 10.5 es menor que 11 se rechaza H₀ y se concluye con un = 0.05 que los problemas de muestra, en promedio, no aumentan las calificaciones de registro de graduados en 50 puntos.

Cuando n 15, la distribución muestral de W₊ ó W_- se aproxima a la distribución normal con media y varianza .