H_o; La proporción de artículos defectuosos es la misma para los tres turnos.

H₁; La proporción de artículos defectuosos no es la misma para los tres turnos.

Grados de libertad: (r-1)(c-1) = (2-1)(3-1)=(1)(2) = 2

Regla de decisión:

Si X²_R > 7.378 se rechaza H_o.

Se procederá a calcular los valores esperados de cada celda. Como los grados de libertad son 2, esto quiere decir que necesitamos calcular únicamente 2 frecuencias esperadas, y las faltantes se encuentran por diferencia.

Se calcularán los valores esperados E₁₁, y E₂₂.

Como se necesitan los totales de renglón y columna se mostrarán en la tabla:

Decisión:

Si se busca este valor dentro de la tabla de ji-cuadrada con 2 grados de libertad nos dará un valor de P aproximado a 0.04. Si se observa el valor de la ji-cuadrada calculada de 6.29 con el valor de tabla de 7.378, se llega a la decisión de no rechazar H_o. Sin embargo sería riesgoso concluir que la proporción de defectuosos producidos es la misma para todos los turnos por tener un valor de P de 0.04.

El uso de la tabla de contingencia de dos clasificaciones para probar independencia entre dos variables de clasificación en una muestra tomada de una población de interés, es sólo una de las aplicaciones de los métodos de tablas de contingencia. Otra situación común se presenta cuando existen r poblaciones de interés y cada una de ellas está dividida en las mismas c categorías. Luego se toma una muestra de la i-ésima población, y los conteos se introducen en las columnas apropiadas del i-ésimo renglón. En esta situación se desea investigar si las proporciones son o no las mimas en las c categorías de todas las poblaciones. La hipótesis nula de este problema establece que las poblaciones son homogéneas con respecto a las categorías (como el ejemplo pasado de los diferentes turnos), entonces la prueba de homogeneidad es en realidad una prueba sobre la igualdad de r parámetros binomiales. El cálculo de las frecuencias esperadas, la determinación de los grados de libertad y el cálculo de la estadística ji-cuadrada para la pruebe de homogeneidad son idénticos a los de la prueba de independencia.

La mayor parte de los procedimientos de prueba de hipótesis que se presentan en las unidades anteriores se basan en la suposición de que las muestras aleatorias se seleccionan de poblaciones normales. Afortunadamente, la mayor parte de estas pruebas aún son confiables cuando experimentamos ligeras desviaciones de la normalidad, en particular cuando el tamaño de la muestra es grande. Tradicionalmente, estos procedimientos de prueba se denominan métodos paramétricos. En esta sección se consideran varios procedimientos de prueba alternativos, llamados no paramétricos ó métodos de distribución libre, que a menudo no suponen conocimiento de ninguna clase acerca de las distribuciones de las poblaciones fundamentales, excepto que éstas son continuas.

Los procedimientos no paramétricos o de distribución libre se usan con mayor frecuencia por los analistas de datos. Existen muchas aplicaciones en la ciencia y la ingeniería donde los datos se reportan no como valores de un continuo sino mas bien en una escala ordinal tal que es bastante natural asignar rangos a los datos.

Un ejemplo donde se aplica una prueba no paramétrica es el siguiente, dos jueces deben clasificar cinco marcas de cerveza de mucha demanda mediante la asignación de un grado de 1 a la marca que se considera que tiene la mejor calidad global, un grado 2 a la segunda mejor, etcétera. Se puede utilizar entonces una prueba no paramétrica para determinar donde existe algún acuerdo entre los dos jueces.

Se debe señalar que hay varias desventajas asociadas con las pruebas no paramétricas. En primer lugar, no utilizan la información que proporciona la muestra, y por ello una prueba no paramétrica será menos eficiente que el procedimiento paramétrico correspondiente, cuando se pueden aplicar ambos métodos. En consecuencia, para lograr la misma potencia, una prueba no paramétrica requerirá la correspondiente prueba no paramétrica.

Como se indicó antes, ligeras divergencias de la normalidad tienen como resultado desviaciones menores del ideal para las pruebas paramétricas estándar. Esto es cierto en particular para la prueba t y la prueba F. En el caso de la prueba t y la prueba F, el valor P citado puede ser ligeramente erróneo si existe una violación moderada de la suposición de normalidad.

En resumen, si se puede aplicar una prueba paramétrica y una no paramétrica al mismo conjunto de datos, debemos aplicar la técnica paramétrica más eficiente. Sin embargo, se debe reconocer que las suposiciones de normalidad a menudo no se pueden justificar, y que no siempre se tienen mediciones cuantitativas.

La prueba del signo se utiliza para probar la hipótesis sobre la mediana de una distribución continua. La mediana de una distribución es un valor de la variable aleatoria X tal que la probabilidad de que un valor observado de X sea menor o igual, o mayor o igual, que la mediana es 0.5. Esto es, .

Puesto que la distribución normal es simétrica, la media de una distribución normal es igual a la mediana. Por consiguiente, la prueba del signo puede emplearse para probar hipótesis sobre la media de una población normal.

Suponga que las hipótesis son:

Supóngase que X₁, X₂, . . . , X_n es una muestra aleatoria tomada de la población de interés. Fórmense las diferencias

Ahora bien si la hipótesis nula es verdadera, cualquier diferencia tiene la misma probabilidad de ser negativa o positiva. Un estadístico de prueba apropiado es el número de estas diferencias que son positivas, por ejemplo R⁺. Por consiguiente, la prueba de la hipótesis nula es en realidad una prueba de que el número de signos positivos es un valor de una variable aleatoria binomial con parámetro P = ½. Puede calcularse un valor P para el número observado de signos positivos r⁺ directamente de la distribución binomial. Al probar la hipótesis que se muestra al principio, se rechaza H₀ en favor de H₁ sólo si la proporción de signos positivos es suficientemente menor que ½ ( o de manera equivalente, cada vez que el número observado de signos positivos r⁺ es muy pequeño). Por tanto, si el valor P calculado

P = P(R⁺ r⁺ cuando p = 1/2)

es menor o igual que algún nivel de significancia seleccionado previamente, entonces se rechaza H₀ y se concluye que H₁ es verdadera.

Para probar la otra hipótesis unilateral

También puede probarse la alternativa bilateral. Si las hipótesis son:

se rechaza H₀ si la proporción de signos positivos difiere de manera significativa de ½ (ya se por encima o por debajo). Esto es equivalente a que el número observado de signos r⁺ sea suficientemente grande o suficientemente pequeño. Por tanto, si r⁺ >n/2 el valor P es

Y si r⁺ >n/2 el valor P es

Ejemplos:

Se mostrará la tabla del ejercicio y es función del investigador poner los signos con respecto a la mediana.

De la tabla se puede observar que el estadístico de prueba r⁺ = 14.

Regla de decisión:

Cálculos:

Puesto que r⁺=14 es mayor que n/2=20/2=10, el valor de P se calcula de

La P se calcula con la fórmula de la distribución binomial:

Conclusión:

Cuando p=0.5, la distribución binomial esta bien aproximada por la distribución normal cuando n es al menos 10. Por tanto, dado que la media de la distribución binomial es np y la varianza es npq, la distribución de R⁺ es aproximadamente normal con media 0.5n y varianza 0.25n, cada vez que n es moderadamente grande. Por consiguiente las hipótesis pueden probarse con el estadístico:

Las reglas de decisión se establecerán como cualquier ensayo en una distribución muestral en donde se utiliza la distribución normal.

Para resolver el problema anterior:

Como la es mayor que 10 se utilizará la aproximación normal.

Regla de Decisión:

Si Z_R < -1.96 ó si Z_R > 1.96 Se rechaza H_o

Cálculos:

Decisión y Conclusión: