En esta sección se verá el caso en donde se tienen dos poblaciones con medias y varianzas desconocidas, y se desea encontrar un intervalo de confianza para la diferencia de dos medias ₁-₂. Si los tamaños de muestras n₁ y n₂ son mayores que 30, entonces, puede emplearse el intervalo de confianza de la distribución normal. Sin embargo, cuando se toman muestras pequeñas se supone que las poblaciones de interés están distribuidas de manera normal, y los intervalos de confianza se basan en la distribución t.

Si s₁² y s₂² son las medias y las varianzas de dos muestras aleatorias de tamaño n₁ y n₂, respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas pero iguales, entonces un intervalo de confianza del 100() por ciento para la diferencia entre medias es:

1. Un artículo publicado dio a conocer los resultados de un análisis del peso de calcio en cemento estándar y en cemento contaminado con plomo. Los niveles bajos de calcio indican que el mecanismo de hidratación del cemento queda bloqueado y esto permite que el agua ataque varias partes de una estructura de cemento. Al tomar diez muestras de cemento estándar, se encontró que el peso promedio de calcio es de 90 con una desviación estándar de 5; los resultados obtenidos con 15 muestras de cemento contaminado con plomo fueron de 87 en promedio con una desviación estándar de 4. Supóngase que el porcentaje de peso de calcio está distribuido de manera normal. Encuéntrese un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre medias de los dos tipos de cementos. Por otra parte, supóngase que las dos poblaciones normales tienen la misma desviación estándar.

Solución:

El estimador combinado de la desviación estándar es:



Al calcularle raíz cuadrada a este valor nos queda que s_p = 4.41



expresión que se reduce a – 0.72 ₁-₂ 6.72

Nótese que el intervalo de confianza del 95% incluye al cero; por consiguiente, para este nivel confianza, no puede concluirse la existencia de una diferencia entre las medias.



2. Se realizó un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel específico en el torrente sanguíneo se distribuye normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayar cada fármaco registrándose el tiempo en minutos que tardó en alcanzar un nivel específico en la sangre. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia del tiempo promedio. Suponga varianzas iguales.

2.35 _B-_A 9.25

Con Tratamiento	2.1	5.3	1.4	4.6	0.9
Sin Tratamiento	1.9	0.5	2.8	3.1

Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. ₁= 5-1 = 4 y ₂ = 4-1=3.

Como 2.85 esta entre los dos valores de H_o no se rechaza , y se concluye con un = 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales.

H_o; _CT-_ST=0

H₁; _CT-_ST >0

Si t_R 1.895 No se Rechaza H_o

2. Se realizó un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel específico en el torrente sanguíneo se distribuye normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayar cada fármaco registrándose el tiempo en minutos que tardó en alcanzar un nivel específico en la sangre. Calcule con

Primero se pondrá a prueba el supuesto de varianzas iguales mediante una prueba de hipótesis con = 0.10.

Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. ₁=12-1=11 y ₂=12-1=11.

Como 1.13 esta entre los dos valores de H_o no se rechaza , y se concluye con un = 0.10 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales.

H_o; _B-_A=0

H₁; _B-_A 0

Consideremos ahora el problema de encontrar una estimación por intervalos de ₁-₂ cuando no es probable que las varianzas poblacionales desconocidas sean iguales. La estadística que se usa con más frecuencia en este caso es:

que tiene aproximadamente una distribución t con grados de libertad, donde:

Como rara vez es número entero, lo redondeamos al número entero más cercano menor. Esto es si el valor de nu es de 15.9 se redondeará a 15.

Al usar =0.05, encontramos en la tabla con 16 grados de libertad que el valor de t es 2.120, por lo tanto:

0.60 ₁-₂ 4.10

1. Un fabricante de monitores prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente equivalente. El departamento de ingeniería ha obtenido los datos siguientes:

Diseño 1	n1 = 16		s12 = 10
Diseño 2	n2 = 10		s22 = 40

Con = 0.05, se desea determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo de corriente promedio entre los dos diseños, donde se supone que las dos poblaciones son normales, pero no es posible suponer que las varianzas desconocidas sean iguales.

Solución:

Primero se probarán varianzas desiguales.

Ensayo de hipótesis:





Estadístico de prueba:

La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor .

Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. ₁= 10-1 = 9 y ₂ = 16-1=15.



Regla de decisión:

Si 0.265 F_c 3.12 No se rechaza H_o,

Si la F_c < 0.265 ó si F_c > 3.12 se rechaza H_o.

Cálculo:



Decisión y Justificación:

Como 4 es mayor que 3.12 se rechaza H_o , y se concluye con un = 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son diferentes.

Con la decisión anterior se procede a comparar las medias:

Ensayo de Hipótesis

H_o; ₁-₂=0

H₁; ₁-₂ 0

Para poder buscar el valor de t en la tabla, se necesita saber el valor de los grados de libertad:



Este valor se redondea al próximo menor que sería 11.



Regla de decisión:

Si –2.201 t_R 2.201 No se rechaza H_o

Si t_R < -2.201 ó si t_R > 2.201 se rechaza H_o

Cálculos:



Justificación y decisión:

Como 0.1395 esta entre –2.201 y 2.201, no se rechaza H_o y se concluye con un = 0.05, que no existe diferencia significativa en el flujo de corriente promedio entre los dos diseños.

2. Dos proveedores fabrican un engrane de plástico utilizado en una impresora láser. Una característica importante de estos engranes es la resistencia al impacto la cual se mide en pies-libras. Una muestra aleatoria de 10 engranes suministrados por el primer proveedor arroja los siguientes resultados: y s₁ = 12. Del segundo proveedor se toma una muestra aleatoria de 16 engranes, donde los resultados son

Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. ₁= 16-1 = 15 y ₂ = 10-1=9.

Como 14.06 es mayor que 3.01 se rechaza H_o , y se concluye con un = 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son diferentes.

H_o; ₂-₁=0

H₁; ₂-₁ >0

Si t_R 1.734 No se rechaza H_o

Como 2.61 es mayor que 1.734, se rechaza H_o y se concluye con un =0.05, que existe evidencia suficiente para decir que el promedio de resistencia de los engranes del proveedor 2 es mayor a el promedio de resistencia de los engranes del proveedor 1.