En ejercicios anteriores se había demostrado que y que , por lo que no es difícil deducir que y que .

La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de medias es:

Ejemplo:

En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si representa el promedio de los pesos de 20 niños y es el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.

Datos:

n₁ = 20 niños

n₂ = 25 niñas

= ?

Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 0.1056.

Ejemplo:

Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía A tienen una vida media de 7.2 años con una desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 años con una desviación estándar de 0.7. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la compañía A tenga una vida promedio de al menos un año más que la de una muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B.

Datos:

n_A = 34 tubos

n_B = 40 tubos

= ?

Ejemplo:

Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina, encontrándose una desviación estándar de 1.23km/L para la primera gasolina y una desviación estándar de 1.37km/L para la segunda gasolina; se prueba la primera gasolina en 35 autos y la segunda en 42 autos.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de 0.45km/L que la segunda gasolina?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y 0.83km/L a favor de la gasolina 1?.

En este ejercicio no se cuenta con los parámetros de las medias en ninguna de las dos poblaciones, por lo que se supondrán que son iguales.

Datos:

n₁ = 35 autos

n₂ = 42 autos

1. = ?





2. 

La probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio en las muestras se encuentre entre 0.65 y 0.83 Km/Lto a favor de la gasolina 1 es de 0.0117.

Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben compararse utilizando proporciones o porcentajes. A continuación se citan algunos ejemplos:

• Educación.- ¿Es mayor la proporción de los estudiantes que aprueban matemáticas que las de los que aprueban inglés?
• Medicina.- ¿Es menor el porcentaje de los usuarios del medicamento A que presentan una reacción adversa que el de los usuarios del fármaco B que también presentan una reacción de ese tipo?
• Administración.- ¿Hay diferencia entre los porcentajes de hombres y mujeres en posiciones gerenciales.
• Ingeniería.- ¿Existe diferencia entre la proporción de artículos defectuosos que genera la máquina A a los que genera la máquina B?

Cuando se estudió a la distribución muestral de proporciones se comprobó que y que , por lo que no es difícil deducir que y que .

La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de proporciones es:

Ejemplo:

Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12% de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte, determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de las mujeres.

Datos:

P_H = 0.12

P_M = 0.10

n_H = 100

n_M = 100

Se recuerda que se está incluyendo el factor de corrección de 0.5 por ser una distribución binomial y se está utilizando la distribución normal.

Se concluye que la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor de la pena de muerte, al menos 3% mayor que el de mujeres es de 0.4562.

Ejemplo:

Una encuesta del Boston College constó de 320 trabajadores de Michigan que fueron despedidos entre 1979 y 1984, encontró que 20% habían estado sin trabajo durante por lo menos dos años. Supóngase que tuviera que seleccionar otra muestra aleatoria de 320 trabajadores de entre todos los empleados despedidos entre 1979 y 1984. ¿Cuál sería la probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 5% o más?

En este ejercicio se cuenta únicamente con una población, de la cual se están extrayendo dos muestras y se quiere saber la probabilidad de la diferencia de los porcentajes en esas dos muestras, por lo que se debe de utilizar la distribución muestral de proporciones con P₁= P₂, ya que es una misma población.

Otra de las situaciones con la cual nos topamos es que desconocemos la proporción de trabajadores despedidos entre 1979 y 1984 que estuvieron desempleados por un período de por lo menos dos años, sólo se conoce la
p₁= 0.20 ya que al tomar una muestra de 320 trabajadores se observó esa proporción.

En la fórmula de la distribución muestral de proporciones para el cálculo de probabilidad se necesita saber las proporciones de las poblaciones, las cuales en este ejercicio las desconocemos, por lo que se utilizará el valor de 0.20 como una estimación puntual de P. En el siguiente tema se abordará el tema de estimación estadística y se comprenderá el porque estamos utilizando de esa manera el dato.

También debe de comprenderse la pregunta que nos hace este problema, ¿cuál sería la probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 5% o más?, la palabra difiera quiere decir que puede existir una diferencia a favor de la muestra uno, o a favor de la muestra dos, por lo que se tendrán que calcular dos áreas en la distribución y al final sumarlas.

Datos:

p₁ = 0.20

n₁ = 320 trabajadores

n₂ = 320 trabajadores

P₁ = P₂

La probabilidad de que su proporcion muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 0.05 o más es de 0.1260.

Ejemplo:

Se sabe que 3 de cada 6 productos fabricados por la máquina 1 son defectuosos y que 2 de cada 5 objetos fabricados por la máquina 2 son defectuosos; se toman muestras de 120 objetos de cada máquina:

1. ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 2 rebase a la máquina 1 en por lo menos 0.10?
2. ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 1 rebase a la máquina 2 en por lo menos 0.15?

Datos:

P₁ = 3/6 = 0.5

P₂ = 2/5 = 0.4

n₁ = 120 objetos

n₂ = 120 objetos

1. p(p₂-p₁0.10) = ?





Otra manera de hacer este ejercicio es poner P₁-P₂:





La probabilidad de que exista una diferencia de proporciones de artículos defectuosos de por lo menos 10% a favor de la máquina 2 es de 0.0011.

2. p(p₁-p₂

La probabilidad de que exista una diferencia de proporciones de artículos defectuosos de por lo menos 15% a favor de la máquina 1 es de 0.2357.

En el control de calidad y específicamente en los gráficos de control "c" se aplica esta distribución, la cual consiste en que al extraer un artículo contabilicemos el número de defectos que tiene ese artículo.

Esta distribución muestral proviene de la distribución de Poisson, en la cual le media es y que en este caso es el número promedio de defectos por unidad. Como ya es conocido la varianza de la distribución de Poisson es igual a por lo que se puede deducir la formula de la siguiente manera:

Para la distribución muestral de número de defectos la nomenclatura utilizada es:

c = número defectos por unidad de inspección

C = número de defectos promedio por unidad de inspección

Se debe de recordar que la distribución de Poisson es una distribución discreta, y se esta utilizando la aproximación de la normal a la Poisson, debiendo aplicar el factor de corrección de ± 0.5 según sea el caso. La formula para la dsitribución muestral de número de defectos quedaría de la siguiente manera:

Ejemplo:

En cierta empresa se fabrican productos con un promedio de 8 defectos por unidad. Determine la probabilidad de que el próximo producto inspeccionado tenga un número de defectos:

1. Mayor o igual a 6
2. Exactamente 7
3. Como máximo 9

La probabilidad de que el siguiente producto inspeccionado tenga por lo menos 6 defectos es de 0.8106.

2. 



 

 



La probabilidad de que el siguiente producto inspeccionado tenga exactamente 7 defectos es de 0.1344.

La probabilidad de que el siguiente producto inspeccionado tenga a lo más 9 defectos es de 0.7019.

1. Se sabe que la resistencia a la ruptura de cierto tipo de cuerda se distribuye normalmente con media de 2000 libras y una varianza de 25,000 lbs². Si se selecciona una muestra aleatoria de 100 cuerdas; determine la probabilidad de que en esa muestra:

1. La resistencia media encontrada sea de por lo menos 1958 libras.
2. La resistencia media se mayor de 2080 libras.

1. Como parte de un proyecto general de mejoramiento de la calidad, un fabricante textil decide controlar el número de imperfecciones encontradas en cada pieza de tela. Se estima que el número promedio de imperfecciones por cada pieza de tela es de 12, determine la probabilidad de que en la próxima pieza de tela fabricada se encuentren:

1. Entre 10 y 12 imperfecciones.
2. Menos de 9 y más de 15 imperfecciones.

1. En una prueba de aptitud la puntuación media de los estudiantes es de 72 puntos y la desviación estándar es de 8 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes, formados de 28 y 36 estudiantes, respectivamente, difieran en su puntuación media en:

1. 3 ó más puntos.
2. 6 o más puntos.
3. Entre 2 y 5 puntos.

1. Un especialista en genética ha detectado que el 26% de los hombres y el 24% de las mujeres de cierta región del país tiene un leve desorden sanguíneo; si se toman muestras de 150 hombres y 150 mujeres, determine la probabilidad de que la diferencia muestral de proporciones que tienen ese leve desorden sanguíneo sea de:

1. Menos de 0.035 a favor de los hombres.
2. Entre 0.01 y 0.04 a favor de los hombres.

1. Una urna contiene 80 bolas de las que 60% son rojas y 40% blancas. De un total de 50 muestras de 20 bolas cada una, sacadas de la urna con remplazamiento, ¿en cuántas cabe esperar

1. Igual número de bolas rojas y blancas?
2. 12 bolas rojas y 8 blancas?
3. 8 bolas rojas y 12 blancas?
4. 10 ó mas bolas blancas?

1. Los pesos de 1500 cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media de 2.40 onzas y desviación estándar de 0.048 onzas. Si se extraen 300 muestras de tamaño 36 de esta población, determinar la media esperada y la desviación estándar de la distribución muestral de medias si el muestreo se hace:

1. Con remplazamiento
2. Sin remplazamiento

1. La vida media de una máquina para hacer pasta es de siete años, con una desviación estándar de un año. Suponga que las vidas de estas máquinas siguen aproximadamente una distribución normal, encuentre:

1. La probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 9 de estas máquinas caiga entre 6.4 y 7.2 años.
2. El valor de la

1. Se llevan a cabo dos experimentos independientes en lo que se comparan dos tipos diferentes de pintura. Se pintan 18 especímenes con el tipo A y en cada uno se registra el tiempo de secado en horas. Lo mismo se hace con el tipo B. Se sabe que las desviaciones estándar de la población son ambas 1.0. Suponga que el tiempo medio de secado es igual para los dos tipo de pintura. Encuentre la probabilidad de que la diferencia de medias en el tiempo de secado sea mayor a uno a favor de la pintura A.

Respuestas a los problemas propuestos:

1. a) 0.9960 b) 0

2. a) 0.3221 b) 0.3122

3. a) 0.2150 b) 0.0064 c) 0.4504

4. a) 0.2227 b) 0.2848

5. a) 6 b) 9 c) 2 d) 12

6. a) b) ligeramente menor que 0.008

7. a) 0.6898 b) 7.35

8. 0.0013

El objetivo principal de la estadística inferencial es la estimación, esto es que mediante el estudio de una muestra de una población se quiere generalizar las conclusiones al total de la misma. Como vimos en la sección anterior, los estadísticos varían mucho dentro de sus distribuciones muestrales, y mientras menor sea el error estándar de un estadístico, más cercanos serán unos de otros sus valores.

Existen dos tipos de estimaciones para parámetros; puntuales y por intervalo. Una estimación puntual es un único valor estadístico y se usa para estimar un parámetro. El estadístico usado se denomina estimador.

Una estimación por intervalo es un rango, generalmente de ancho finito, que se espera que contenga el parámetro.

Estimación Puntual

La inferencia estadística está casi siempre concentrada en obtener algún tipo de conclusión acerca de uno o más parámetros (características poblacionales). Para hacerlo, se requiere que un investigador obtenga datos muestrales de cada una de las poblaciones en estudio. Entonces, las conclusiones pueden estar basadas en los valores calculados de varias cantidades muestrales . Po ejemplo, representamos con (parámetro) el verdadero promedio de resistencia a la ruptura de conexiones de alambres utilizados para unir obleas de semiconductores. Podría tomarse una muestra aleatoria de 10 conexiones para determinar la resistencia a la ruptura de cada una, y la media muestral de la resistencia a la ruptura se podía emplear para sacar una conclusión acerca del valor de . De forma similar, si es la varianza de la distribución de resistencia a la ruptura, el valor de la varianza muestral s² se podría utilizar pra inferir algo acerca de .

Cuando se analizan conceptos generales y métodos de inferencia es conveniente tener un símbolo genérico para el parámetro de interés. Se utilizará la letra griega para este propósito. El objetivo de la estimación puntual es seleccionar sólo un número, basados en datos de la muestra, que represente el valor más razonable de .

Una muestra aleatoria de 3 baterías para calculadora podría presentar duraciones observadas en horas de x₁=5.0, x₂=6.4 y x₃=5.9. El valor calculado de la duración media muestral es = 5.77, y es razonable considerar 5.77 como el valor más adecuado de .

Una estimación puntual de un parámetro es un sólo número que se puede considerar como el valor más razonable de . La estimación puntual se obtiene al seleccionar una estadística apropiada y calcular su valor a partir de datos de la muestra dada. La estadística seleccionada se llama estimador puntual de .

Ejemplo:

En el futuro habrá cada vez más interés en desarrollar aleaciones de Mg de bajo costo, para varios procesos de fundición. En consecuencia, es importante contar con métodos prácticos para determinar varias propiedades mecánicas de esas aleaciones. Examine la siguiente muestra de mediciones del módulo de elasticidad obtenidos de un proceso de fundición a presión:

En el mejor de los casos, se encontrará un estimador para el cualsiempre. Sin embargo, es una función de las X_i muestrales, por lo que en sí misma una variable aleatoria.

+ error de estimación

entonces el estimador preciso sería uno que produzca sólo pequeñas diferencias de estimación, de modo que los valores estimados se acerquen al valor verdadero.

Propiedades de un Buen Estimador

En otras palabras, la eficiencia se refiere al tamaño de error estándar de la estadística. Si comparamos dos estaíisticas de una muestra del mismo tamaño y tratamos de decidir cual de ellas es un estimador mas eficiente, escogeríamos la estadística que tuviera el menor error estándar, o la menor desviación estándar de la distribución de muestreo.

Tiene sentido pensar que un estimador con un error estándar menor tendrá una mayor oportunidad de producir una estimación mas cercana al parámetro de población que se esta considerando.

Como se puede observar las dos distribuciones tienen un mismo valor en el parámetro sólo que la distribución muestral de medias tiene una menor varianza, por lo que la media se convierte en un estimador eficiente e insesgado.

Coherencia.- Una estadística es un estimador coherente de un parámetro de población, si al aumentar el tamaño de la muestra se tiene casi la certeza de que el valor de la estadística se aproxima bastante al valor del parámetro de la población. Si un estimador es coherente se vuelve mas confiable si tenemos tamaños de muestras mas grandes.

Suficiencia.- Un estimador es suficiente si utiliza una cantidad de la información contenida de la muestra que ningún otro estimador podría extraer información adicional de la muestra sobre el parámetro de la población que se esta estimando.

Es decir se pretende que al extraer la muestra el estadístico calculado contenga toda la información de esa muestra. Por ejemplo, cuando se calcula la media de la muestra, se necesitan todos los datos. Cuando se calcula la mediana de una muestra sólo se utiliza a un dato o a dos. Esto es solo el dato o los datos del centro son los que van a representar la muestra. Con esto se deduce que si utilizamos a todos los datos de la muestra como es en el caso de la media, la varianza, desviación estándar, etc; se tendrá un estimador suficiente.

Estimación por Intervalos

Una interpretación correcta de la "confianza de 95%" radica en la interpretación frecuente de probabilidad a largo plazo: decir que un evento A tiene una probabilidad de 0.95, es decir que si el experimento donde A está definido re realiza una y otra vez, a largo plazo A ocurrirá 95% de las veces. Para este caso

el 95% de los intervalos de confianza calculados contendrán a .

Esta es una construcción repetida de intervalos de confianza de 95% y se puede observar que de los 11 intervalos calculados sólo el tercero y el último no contienen el valor de .

De acuerdo con esta interpretación, el nivel de confianza de 95% no es tanto un enunciado sobre cualquier intervalo en particular, más bien se refiere a lo que sucedería si se tuvieran que construir un gran número de intervalos semejantes.

Existen varias tablas en las cuales podemos encontrar el valor de z, según sea el área proporcionada por la misma. En esta sección se realizará un ejemplo para encontrar el valor de z utilizando tres tablas diferentes.

Ejemplo:

Encuentre el valor de z para un nivel de confianza del 95%.

Se utilizará la tabla que tiene el área bajo la curva de - hasta z. Si lo vemos gráficamente sería:

El nivel de confianza bilateral está dividido en partes iguales bajo la curva:

En base a la tabla que se esta utilizando, se tendrá que buscar el área de 0.975, ya que cada extremo o cola de la curva tiene un valor de 0.025.

Por lo que el valor de z es de 1.96.

Si se utiliza una tabla en donde el área bajo la curva es de 0 a z:

En este caso sólo se tendrá que buscar adentro de la tabla el área de 0.475 y el resultado del valor de z será el mismo, para este ejemplo 1.96.

Para la tabla en donde el área bajo la curva va desde z hasta :

Se busca el valor de 0.025 para encontrar z de 1.96.

Independientemente del valor del Nivel de Confianza este será el procedimiento a seguir para localizar a z. En el caso de que no se encuentre el valor exacto se tendrá que interpolar.

Estimación para la Media

Es conocido de nosotros durante este curso, que en base a la distribución muestral de medias que se generó en el tema anterior, la formula para el calculo de probabilidad es la siguiente: . Como en este caso no conocemos el parámetro y lo queremos estimar por medio de la media de la muestra, sólo se despejará de la formula anterior, quedando lo siguiente:

De esta formula se puede observar que tanto el tamaño de la muestra como el valor de z se conocerán. Z se puede obtener de la tabla de la distribución normal a partir del nivel de confianza establecido. Pero en ocasiones se desconoce por lo que en esos casos lo correcto es utilizar otra distribución llamada "t" de student si la población de donde provienen los datos es normal.

Para el caso de tamaños de muestra grande se puede utilizar una estimación puntual de la desviación estándar, es decir igualar la desviación estándar de la muestra a la de la población (s=).

Ejemplos:

1. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3.

Solución:

La estimación puntual de es= 2.6. El valor de z para un nivel de confianza del 95% es 1.96, por lo tanto:





Para un nivel de confianza de 99% el valor de z es de 2.575 por lo que el intervalo será más amplio:





El intervalo de confianza proporciona una estimación de la presición de nuestra estimación puntual. Si es realmente el valor central de intervalo, entonces estima sin error. La mayor parte de las veces, sin embargo, no será exactamente igual a y la estimación puntual es errónea. La magnitud de este error será el valor absoluto de la diferencia entre y , y podemos tener el nivel de confianza de que esta diferencia no excederá .

Como se puede observar en los resultados del ejercicio se tiene un error de estimación mayor cuando el nivel de confianza es del 99% y más pequeño cuando se reduce a un nivel de confianza del 95%.

2. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalos de confianza de 96% para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa.

Solución:



Con un nivel de confianza del 96% se sabe que la duración media de los focos que produce la empresa está entre 765 y 765 horas.

3. La prueba de corte sesgado es el procedimiento más aceptado para evaluar la calidad de una unión entre un material de reparación y su sustrato de concreto. El artículo "Testing the Bond Between Repair Materials and Concrete Substrate" informa que, en cierta investigación, se obtuvo una resistencia promedio muestral de 17.17 N/mm², con una muestra de 48 observaciones de resistencia al corte, y la desviación estándar muestral fue 3.28 N/mm². Utilice un nivel de confianza inferior del 95% para estimar la media real de la resistencia al corte.

En este ejercicio se nos presentan dos situaciones diferentes a los ejercicios anteriores. La primera que desconoce la desviación estándar de la población y la segunda que nos piden un intervalo de confianza unilateral.

El primer caso ya se había comentado y se solucionará utilizando la desviación estándar de la muestra como estimación puntual de sigma.

Para el intervalo de confianza unilateral, se cargará el área bajo la curva hacia un solo lado como sigue:

Esto quiere decir que con un nivel de confianza de 95%, el valor de la media está en el intervalo (16.39, ).